题目:已知椭圆方程为$\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$，圆心在点C(0,1)的圆与椭圆相切。求圆的方程。

已知椭圆方程为 \(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1\)，圆心在点 \(C(0,1)\) 的圆与椭圆相切，我们可以通过以下步骤来求圆的方程： 1. 首先确定椭圆的半长轴和半短轴。椭圆的半长轴 \(a = 3\)，半短轴 \(b = \sqrt{5}\)。 2. 由于圆与椭圆相切，圆的半径 \(radius\) 等于从圆心到椭圆上最近的点的距离，即圆心在椭圆上的投影点到圆心的距离。 3. 设圆的半径为 \(r\)，由于圆心在 \(C(0,1)\)，我们可以利用椭圆方程来求解这个半径。将圆心坐标代入椭圆方程，得到： \[ \frac{0^2}{9} + \frac{(1 - r)^2}{5} = 1 \] 即： \[ \frac{(1 - r)^2}{5} = 1 \] 解这个方程，得到： \[ (1 - r)^2 = 5 \] \[ 1 - r = \pm \sqrt{5} \] \[ r = 1 \pm \sqrt{5} \] 4. 由于半径 \(r\) 必须为正值，我们选择正号： \[ r = 1 + \sqrt{5} \] 5. 最后，我们可以得到圆的方程为： \[ (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = (1 + \sqrt{5})^2 \] 简化后得到： \[ x^2 + (y - 1)^2 = 6 + 2\sqrt{5} \] 因此，圆的方程是 \(x^2 + (y - 1)^2 = 6 + 2\sqrt{5}\)。