题目:对于正实数a1, a2, …, an，证明(a1 + a2 + … + an) / n ≥ √(a1 × a2 × … × an)，可以得到算术平均数不小于几何平均数吗？

是的，这个不等式被称为算术平均数-几何平均数不等式（Arithmetic Mean-Geometric Mean Inequality，简称AM-GM不等式），它表明对于任何一组非负实数 \(a_1, a_2, …, a_n\)，其算术平均数总是大于或等于相应的几何平均数。 算术平均数（AM）定义为所有数的和除以数的数量，而几何平均数（GM）定义为所有数乘积的n次方根。具体来说： \[ \text{AM} = \frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{n} \] \[ \text{GM} = \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times … \times a_n} \] 算术平均数-几何平均数不等式表明： \[ \frac{a_1 + a_2 + … + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times … \times a_n} \] 不等式等号成立的条件是所有的数 \(a_1, a_2, …, a_n\) 相等。 证明这个不等式常见的方法有多种，比如使用数学归纳法，或者利用对数函数的詹森不等式（Jensen's inequality）。这里给出一个简单的通过归纳法的证明过程： **基础情况（n=2）**： 对于 \(n=2\)，不等式变为： \[ \frac{a_1 + a_2}{2} \geq \sqrt{a_1 \times a_2} \] 这个不等式可以转化为： \[ (a_1 - a_2)^2 \geq 0 \] 由于平方总是非负的，所以基础情况成立。 **归纳步骤**： 假设对于某个 \(k\)，不等式成立： \[ \frac{a_1 + a_2 + … + a_k}{k} \geq \sqrt[k]{a_1 \times a_2 \times … \times a_k} \] 现在考虑 \(k+1\) 个正数 \(a_1, a_2, …, a_k, a_{k+1}\)，我们想要证明： \[ \frac{a_1 + a_2 + … + a_k + a_{k+1}}{k+1} \geq \sqrt[k+1]{a_1 \times a_2 \times … \times a_k \times a_{k+1}} \] 这可以通过将 \(a_1 + a_2 + … + a_k\) 看作一个整体并应用归纳假设来完成。更详细的证明需要一些代数操作，但基本思路是将问题从一个较小的集合扩展到较大的集合，并且使用归纳假设来帮助证明更大集合的情况。 AM-GM不等式在数学、经济学以及各种科学领域中都有广泛的应用，