题目:已知抛物线y=ax方+bx+c的定点为 （二分之一,负四分之二十五）它与X轴的两个交点间的距离为5 求此抛物线的解析式.

给定抛物线 \(y = ax^2 + bx + c\) 与 \(x\) 轴有两个交点，且这两个交点之间的距离为5。这意味着抛物线与 \(x\) 轴的两个交点可以表示为 \(x_1\) 和 \(x_1 + 5\)。 由于抛物线的对称性，这两个交点关于顶点对称，因此顶点的 \(x\) 坐标为 \(x_1 + \frac{5}{2} = x_1 + 2.5\)。 抛物线的顶点形式是 \(y = a(x - h)^2 + k\)，其中 \((h, k)\) 是顶点的坐标。由于我们知道定点 \((\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})\) 在抛物线上，我们可以利用这一点来确定 \(h\) 和 \(k\) 的值。但首先，让我们找到 \(x_1\) 的值。 由于顶点是 \(x_1\) 和 \(x_1 + 5\) 的中点，我们可以写出： \[ h = \frac{x_1 + (x_1 + 5)}{2} = x_1 + 2.5 \] 由于定点的 \(x\) 坐标是 \(\frac{1}{2}\)，我们可以得出： \[ x_1 + 2.5 = \frac{1}{2} \] \[ x_1 = \frac{1}{2} - 2.5 \] \[ x_1 = -2 \] 所以一个 \(x\) 轴交点是 \(-2\)，另一个交点是 \(-2 + 5 = 3\)。这意味着抛物线通过点 \((-2, 0)\) 和 \((3, 0)\)。 现在，我们可以使用这两个点来建立两个方程，并解出 \(a\)、\(b\) 和 \(c\)。由于点 \((\frac{1}{2}, -\frac{25}{4})\) 在抛物线上，我们也可以使用它来建立第三个方程。 首先，我们使用 \(x\) 轴上的两个点来建立方程： 1. \(0 = a(-2)^2 + b(-2) + c\) 2. \(0 = a(3)^2 + b(3) + c\) 简化后得到： 1. \(4a - 2b + c = 0\) 2. \(9a + 3b + c = 0\) 我们可以通过减去这两个方程来消除 \(c\)： \[ (9a + 3b + c) - (4a - 2b + c) = 0 \] \[ 5a + 5b = 0 \] \[ a + b = 0 \] \[ b = -a \] 现在，我们可以将 \(b = -a\) 代入其中一个原始方程来解出 \(a\) 和 \(c\)。让我们使用第一个方程： \[ 4a - 2(-a) + c = 0 \] \[ 4a + 2a + c = 0 \] \