题目:正整数r,s和t具有性质,即r × s × t = 1230。那么r + s + t的最小可能值是多少? (A) 51 (B) 52 (C) 54 (D) 58 (E) 53
要找到 \( r + s + t \) 的最小值,首先我们需要将 1230 进行因式分解。1230 的质因数分解如下:
\[ 1230 = 2 \times 3 \times 5 \times 41 \]
由于 1230 是一个乘积形式,且我们要找到使 \( r + s + t \) 最小的正整数,我们应该尽量让 \( r \),\( s \),和 \( t \) 彼此接近。
我们可以把质因数分配给 \( r \),\( s \) 和 \( t \) 如下:
- \( r = 2 \times 3 \times 5 = 30 \)
- \( s = 41 \)
- \( t = 1 \)
这样,我们得到 \( r + s + t \) 的值为:
\[ r + s + t = 30 + 41 + 1 = 72 \]
但这并不符合选项中的任何一个。我们来尝试其他组合:
- \( r = 2 \times 3 = 6 \)
- \( s = 5 \times 41 = 205 \)
- \( t = 1 \)
这样 \( r + s + t \) 的值为:
\[ r + s + t = 6 + 205 + 1 = 212 \]
这也不符合给出的选项。我们需要找到一个组合,使得 \( r \),\( s \),和 \( t \) 更接近彼此,从而使它们的和最小。
我们可以尝试:
- \( r = 2 \times 3 \times 41 = 246 \)
- \( s = 5 \)
- \( t = 1 \)
这样 \( r + s + t \) 的值为:
\[ r + s + t = 246 + 5 + 1 = 252 \]
这仍然不符合给出的选项,并且这个值比之前的尝试更大。因此,我们可能需要考虑更平衡的分配方式。
考虑到 \( r \),\( s \),和 \( t \) 应该尽可能接近,我们可以尝试将这些质因数分成三组,以产生尽可能接近的因子。我们发现:
- \( r = 2 \times 3 \times 41 / 5 = 50.6 \)(这不是一个整数,所以不可行)
- \( r = 2 \times 41 = 82 \)
- \( s = 3 \times 5 = 15 \)
- \( t = 1 \)
这样 \( r + s + t \) 的值为:
\[ r + s + t = 82 + 15 + 1 = 98 \]
这个结果仍然没有在选项中。我们继续尝试不同的组合,知道找到一个合适的组合。注意到 \( s \) 和 \( t \) 可以为 \( 2 \times 5 = 10 \) 和 \( 3 \times 41 = 123 \)。那么 \( r \) 将是 \( 1 \)。这样我们有:
- \( r = 1 \)
- \( s = 2 \times 5 = 10 \)
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