题目:求函数y=3x^2-6x+30的值域,其中x∈[-1,1]
要找到函数 \( y = 3x^2 - 6x + 30 \) 在区间 \( x \in [-1, 1] \) 的值域,首先需要分析这个二次函数的性质。
这个函数是一个开口向上的抛物线(因为二次项系数为正),其对称轴可以通过求导数等于0的点来确定。首先,我们来计算函数的导数:
\[ y' = 6x - 6 \]
令导数等于0,解得对称轴:
\[ 6x - 6 = 0 \]
\[ x = 1 \]
由于 \( x = 1 \) 是区间 [-1, 1] 的一个端点,我们只需要检查区间端点和顶点(在这里是对称轴上的点)的函数值。
首先计算 \( x = -1 \) 时的函数值:
\[ y(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) + 30 = 3 + 6 + 30 = 39 \]
接着计算 \( x = 1 \) 时的函数值:
\[ y(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 30 = 3 - 6 + 30 = 27 \]
由于抛物线开口向上,且 \( x = 1 \) 是对称轴,在 \( x \in [-1, 1] \) 区间内 \( y(-1) \) 取得最大值 39,而 \( y(1) \) 取得最小值 27。
因此,函数 \( y = 3x^2 - 6x + 30 \) 在 \( x \in [-1, 1] \) 的值域是 [27, 39]。
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