x→0时，e^x﹣1是x的（ ） A．等价无穷小量 B. 同阶无穷小量 C. 高阶无穷小量 D. 低阶无穷小量

当 \(x \rightarrow 0\) 时，我们讨论 \(e^x - 1\) 和 \(x\) 的关系。 根据泰勒展开： \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \] 所以， \[ e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \] 当 \(x \) 趋近于 0 时，高阶项 (\(x^2\), \(x^3\), ...) 变得可以忽略不计，此时： \[ e^x - 1 \approx x \] 这意味着 \(e^x - 1\) 和 \(x\) 在 \(x \rightarrow 0\) 时的大小是相同的量级。因此： - **等价无穷小量**：如果两个无穷小量的比值极限为1，则它们是等价的。 - **同阶无穷小量**：如果它们的比值极限不限于0或无穷大，但为一个常数，则它们是同阶的。 - **高阶无穷小量**和**低阶无穷小量**指一个趋向于0的速度远远快于另一个。 因为 \(e^x - 1\) 和 \(x\) 的关系是近似相等的，它们的比值在 \(x\) 趋向于0时接近1，即： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \] 因此，**选项 A：等价无穷小量**，是正确的。