求出循环群Z*7的所有生成元和所有子群

循环群 \( \mathbb{Z}_7^* \) 是模 7 下的乘法群，它包括所有与 7 互质的整数。由于 7 是一个素数，所以任何小于 7 且不等于 0 的整数都与 7 互质。因此，\( \mathbb{Z}_7^* \) 包含元素 \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)。 ### 所有生成元 要确定一个元素是否是 \( \mathbb{Z}_7^* \) 的生成元，我们需要找出它的阶是否等于群的阶，即 6。群 \( \mathbb{Z}_7^* \) 的阶为 6，因为它有 6 个元素。 **所有生成元**： - **1**：\( 1 \) 的阶为 1，不是生成元。 - **2**：\( 2^6 \equiv 1 \pmod{7} \) - **3**：\( 3^6 \equiv 1 \pmod{7} \) - **4**：\( 4 = 2^2 \)，\( 2^6 \equiv 1 \pmod{7} \) - **5**：\( 5^6 \equiv 1 \pmod{7} \) - **6**：\( 6 = -1 \)，\( (-1)^6 \equiv 1 \pmod{7} \) **生成元**： - **2, 3, 5** 是 \( \mathbb{Z}_7^* \) 的生成元，因为它们的阶为 6。 ### 子群 对于有限群 \( \mathbb{Z}_7^* \)，所有可能的子群由下述元素组成： - **平凡子群**：\( \{1\} \)（只包含单位元） - **整个群**：\( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \) - **阶为 2 的子群**：\(\{1, 4\}\)（由 \( 2^2 \equiv 1 \p