4coswt的傅里叶变换

要计算函数 \(4\cos(wt)\) 的傅里叶变换，我们首先回顾一下傅里叶变换的定义。对于一个连续时间函数 \(f(t)\)，其傅里叶变换 \(F(\omega)\) 定义为： \[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \, dt \] 给定的函数是 \( f(t) = 4\cos(wt) \)。我们可以用欧拉公式将余弦函数表示为复数指数的形式： \[ \cos(wt) = \frac{e^{jwt} + e^{-jwt}}{2} \] 因此，函数变为： \[ f(t) = 4 \left(\frac{e^{jwt} + e^{-jwt}}{2}\right) = 2e^{jwt} + 2e^{-jwt} \] 现在，我们可以分别计算这两部分的傅里叶变换： 1. 对于 \(2e^{jwt}\)： \[ \mathcal{F}\{2e^{jwt}\} = 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{jwt} e^{-j\omega t} \, dt = 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(w-\omega)t} \, dt \] 这是一个狄拉克δ函数的积分形式，结果是： \[ 2 \cdot 2\pi \delta(\omega - w) = 4\pi \delta(\omega - w) \] 2. 对于 \(2e^{-jwt}\)： \[ \mathcal{F}\{2e^{-jwt}\} = 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jwt} e^{-j\omega t} \, dt = 2 \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(w+\omega)t} \, dt \] 同样，这也是一个狄拉克δ函数的积分形式，结果是： \[ 2 \cdot 2\pi \delta(\omega + w) = 4\pi \delta(\omega + w) \] 将这两部分的结果相加，得到 \(4\cos(wt)\) 的傅里叶变换： \[ \mathcal{F}\{4\cos(wt)\} = 4\pi \delta(\omega - w) + 4\pi \delta(\omega + w) \] 因此，最终的傅里叶变换结果是： \[ \boxed{4\pi [\delta(\omega - w) + \delta(\omega + w)]} \]