求出循环群Z的所有生成元和所有子群.

循环群 \( \mathbb{Z} \) 是一个无限群，具体来说，它是一个无限阿贝尔群，通常被认为是整数的加法群。 ### 生成元 在无限循环群 \( \mathbb{Z} \) 中，任何非零整数都可以作为生成元。这是因为通过这个整数的整数倍可以得到任何其他整数。 **生成元**： - 任何非零整数 \( a \) 都可以作为 \( \mathbb{Z} \) 的生成元。 ### 子群 由于 \( \mathbb{Z} \) 是一个无限群，它的子群也是无限多的。 **子群**： - **平凡子群**：\( \{0\} \)，只包含群的单位元。 - **无限循环子群**：对于任意整数 \( n \)，由 \( n \) 的整数倍生成的子群是一个无限循环子群。记作 \( n\mathbb{Z} \) ，包括所有形式为 \( kn \) 的整数，其中 \( k \) 是任意整数。 更具体地： - \( n\mathbb{Z} \) 表示所有 \( n \) 的整数倍，即 \( \{..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...\} \)。 ### 例子 例如： - 当 \( n = 1 \) 时，\( n\mathbb{Z} = \mathbb{Z} \)，即整个 \( \mathbb{Z} \) 群本身。 - 当 \( n = 2 \) 时，\( 2\mathbb{Z} \) 就是所有偶数，即 \( \{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...\} \)。 ### 总结 - **每个非零整数**：都是 \( \mathbb{Z} \) 的一个生成元。 - **每个整数倍** \( n \)：都定义了 \( \mathbb{Z} \) 的