假设随机变量X服从正态分布，均值为0，方差等于1，令Y=X^2-1，请证明X与Y线性无关。

要证明随机变量 \( X \) 与 \( Y = X^2 - 1 \) 线性无关，我们可以通过以下步骤进行： ### 步骤 1: 定义线性相关性 如果存在非零常数 \( a \) 和 \( b \) 使得： \[ P(aX + bY = 0) = 1 \] 则称 \( X \) 和 \( Y \) 线性相关。 ### 步骤 2: 表达线性关系 假设 \( X \) 与 \( Y \) 线性相关，则存在常数 \( a \) 和 \( b \) 使得： \[ aX + b(X^2 - 1) = 0 \] 简化上式得： \[ (bX^2 - a)X - b = 0 \] ### 步骤 3: 分析方程 上述方程要对所有 \( X \) 成立，意味着： \[ bX^2 - a = 0 \quad \text{和} \quad -b = 0 \] 从 \( -b = 0 \) 可得 \( b = 0 \)。 ### 步骤 4: 分析 \( b = 0 \) 的情况 如果 \( b = 0 \)，则方程简化为： \[ aX = 0 \] 这意味着 \( X = 0 \) 必须对所有 \( X \) 成立，这是不可能的，因为 \( X \) 是一个随机变量，其取值并非总是0。 ### 步骤 5: 得出结论 由于不存在这样的非零常数 \( a \) 和 \( b \) 使得 \( aX + b(X^2 - 1) = 0 \) 对所有 \( X \) 成立，因此 \( X \) 和 \( Y = X^2 - 1 \) 线性无关。 ### 另一种证明方法：协方差分析 我们也可以利用协方差的定义来证明 \( X \) 和 \( Y \) 线性无关。 ### 步骤 1: 定义协方差 协方差 \( \operatorname{Cov}(X, Y) \) 定义为： \[ \operatorname{Cov}(X, Y) = E[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)] \] 其中 \( \mu_X = E[X] = 0 \) 和 \( \mu_Y = E[Y] = E[X^2 - 1] \)。 ### 步骤 2: 计算 \( E[Y] \) 由于 \( X \) 服从均值为0，方差为1的正态分布： \[ E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = 1 + 0^2 = 1 \] \[ E[Y] = E[X^2 - 1] = 1 - 1 = 0 \] ### 步骤 3: 计算协方差 \[ \operatorname{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \] \[ E[XY] = E[X^3 - X] \] 由于 \( E[X] = 0 \)： \[ E[XY] = E[X^3] - E[X] = E[X^3] \] 对于标准正态分布 \( X \)： \[ E[X^3] = 0 \] 因此： \[ E[XY] = 0 \] \[ \operatorname{Cov}(X, Y) = 0 - 0 = 0 \] ### 步骤 4: 得出结论 由于 \( \operatorname{Cov}(X, Y) = 0 \)，即 \( X \) 和 \( Y \) 的协方差为0，表明它们是线性无关的。 综上所述，无论是通过代数方法还是通过协方差分析，我们都证明了 \( X \) 和 \( Y = X^2 - 1 \) 是线性无关的。