求点(1,2,0)到平面 x+2y-2z+1=0 的距离，并计算平面 x+z+1=0 与平面 x=1 的夹角

我们可以分别计算这两个数学问题： ### 点到平面的距离 点 \( P(1,2,0) \) 到平面 \( x + 2y - 2z + 1 = 0 \) 的距离可以通过下面的公式计算： \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] 其中 \( Ax + By + Cz + D = 0 \) 是平面的标准方程，而 \( (x_0, y_0, z_0) \) 是点的坐标。 代入平面方程和点 \( P \) 的坐标： \[ A = 1, B = 2, C = -2, D = 1 \] \[ x_0 = 1, y_0 = 2, z_0 = 0 \] 计算距离： \[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 + 4 + 1|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{6}{3} = 2 \] ### 平面与平面的夹角 平面 \( x + z + 1 = 0 \) 和平面 \( x = 1 \) 的夹角可以通过计算两个平面的法向量的夹角来求得。平面 \( x + z + 1 = 0 \) 的法向量为 \( \mathbf{n}_1 = (1, 0, 1) \)，平面 \( x = 1 \) 的法向量可以通过将平面方程 \( (x - 1) = 0 \) 重新写为 \( x - 1 = 0 \) 来获得，即 \( \mathbf{n}_2 = (1, 0, 0) \)。 两个平面的法向量的夹角是两个向量 \(\mathbf{n}_1\) 和 \(\mathbf{n}_2\) 之间的夹角，可以通过点积公式来计算： \[ \cos \theta = \frac{\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} \] 代入 \( \mathbf{n}_1 \) 和 \( \mathbf{n}_2 \)： \[ \cos \theta = \frac{(1)(1) + (0)(0) + (1)(0)}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] 所以，夹角 \(\theta\) 是： \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \] 对于角度，每个象限都可以相同的角度值，所以我们需要确保 \(\theta\) 在 \([0^\circ, 90^\circ]\) 范围内，这个结果是 \(45^\circ\)。 综上所述，点 \( (1,2,0) \) 到平面 \( x+2y-2z+1=0 \) 的距离是 2，平面 \( x+z+1=0 \) 与平面 \( x=1 \) 的夹角是 \( 45^\circ \)。