已知 A(1,1,1), B(2,1,1), C(1,4,1), D(1,1,5), 求四面体 ABCD 的体积 V

要计算四面体ABCD的体积V，可以使用向量法。具体来说，可以通过以下步骤求解： 1. 首先，定义点A、B、C、D的坐标向量： \[ A(1, 1, 1) \] \[ B(2, 1, 1) \] \[ C(1, 4, 1) \] \[ D(1, 1, 5) \] 2. 计算向量 \(\vec{AB}\)、\(\vec{AC}\) 和 \(\vec{AD}\)： \[ \vec{AB} = B - A = (2 - 1, 1 - 1, 1 - 1) = (1, 0, 0) \] \[ \vec{AC} = C - A = (1 - 1, 4 - 1, 1 - 1) = (0, 3, 0) \] \[ \vec{AD} = D - A = (1 - 1, 1 - 1, 5 - 1) = (0, 0, 4) \] 3. 使用行列式方法求解四面体的体积。四面体的体积 V 可以通过以下公式计算： \[ V = \frac{1}{6}|\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| \] 4. 计算向量叉乘 \(\vec{AC} \times \vec{AD}\)： \[ \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i} (3 \times 4 - 0 \times 0) - \mathbf{j} (0 \times 4 - 0 \times 0) + \mathbf{k} (0 \times 0 - 3 \times 0) = \mathbf{i} (12) = (12, 0, 0) \] 5. 计算点积 \(\vec{AB} \cdot (12, 0, 0)\)： \[ \vec{AB} \cdot (12, 0, 0) = 1 \times 12 + 0 \times 0 + 0 \times 0 = 12 \] 6. 最后，计算四面体的体积： \[ V = \frac{1}{6}|\vec{AB} \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})| = \frac{1}{6} \times |12| = 2 \] 所以，四面体ABCD的体积为： \[ V = 2 \]