确定U(8)和U(9) 是否是循环群，不是的话，说明理由；是的 话求出所有生成元和所有子群.

在数论和代数学中，\( U(n) \) 通常指模 \( n \) 的乘法群，即所有与 \( n \) 互质的整数在模 \( n \) 下的乘法下的群。我们来分别看一下 \( U(8) \) 和 \( U(9) \)。 ### \( U(8) \) **定义**：\( U(8) \) 是模 8 下与 8 互质的整数的集合，即 \( \{1, 3, 5, 7\} \)。 **是否是循环群**：不是。 **理由**： 1. **循环群**：一个群是循环的，如果存在某个元素 \( g \) ，使得通过 \( g \) 的幂可以得到群内的所有元素。 2. 对于 \( U(8) \)，尝试任何元素都不可能生成整个集合： - 如果选择 \( 1 \)，那么 \( 1^k \equiv 1 \pmod{8} \) 对所有 \( k \) 成立，所以只生成 \( 1 \)。 - 如果选择 \( 3 \)，那么 \( 3^2 \equiv 1 \pmod{8} \)，因此只能生成 \( 1 \) 和 \( 3 \)。 - 如果选择 \( 5 \)，那么 \( 5^2 \equiv 1 \pmod{8} \)，同样只能生成 \( 1 \) 和 \( 5 \)。 - 如果选择 \( 7 \)，那么 \( 7^2 \equiv 1 \pmod{8} \)，情况与 \( 3 \) 和 \( 5 \) 相同。 **子群**： - 显然的子群有 \( \{1\} \)（平凡子群）和 \( U(8) \) 本身。 ### \( U(9) \) **定义**：\( U(9) \) 是模 9 下与 9 互质的整数的集合，即 \( \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} \)。 **是否是循环群**：是。 **理由**： 1. **循环群**：如果群可以由单个元素生成，则该群是循环的。 2. 对于 \( U(9) \)，元素 \( 2 \) 可以生成整个 \( U(9) \)： - \( 2^1 \equiv 2 \pmod{9} \) - \( 2^2 \equiv 4 \pmod{9} \) - \( 2^3 \equiv 8 \pmod{9} \) - \( 2^4 \equiv 7 \pmod{9} \) - \( 2^5 \equiv 5 \pmod{9} \) - \( 2^6 \equiv 1 \pmod{9} \) **生成元**：生成元是 \( 2 \)。 **子群**： - 子群包括： - \( \{1\} \)（平凡子群） - \( \{1, 2, 4, 8\} \)（由 \( 2 \) 生成的阶为 6 的子群） - \( \{1, 5\} \)（由 \( 5 \) 生成的阶为 6 的子群） 这些子群包含了 \( U(9) \) 的所有可能子群，因为 \( U(9) \) 是一个有