求出循环群Z8中每个元素的阶、所有生成元以及所有子群

在抽象代数中，循环群 \( Z_8 \) 是模 8 的加法群，由集合 \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \) 组成，群运算为模 8 的加法。该群是有限群，并且是阿贝尔群（交换群）。 ### 元素的阶 循环群 \( Z_8 \) 中每个元素的阶是指最小的正整数 \( n \) 使得 \( n \cdot a \equiv 0 \pmod{8} \) ，其中 \( a \) 是群中的元素。由于 \( Z_8 \) 是模 8 的加法群，我们可以确定每个元素的阶如下： - \( \text{ord}(0) = 1 \)（任何数与 0 相乘都等于 0） - \( \text{ord}(1) = 8 \)（每 8 个 1 相加等于 0 模 8） - \( \text{ord}(2) = 4 \)（每 4 个 2 相加等于 0 模 8） - \( \text{ord}(3) = 8 \) - \( \text{ord}(4) = 2 \)（每 2 个 4 相加等于 0 模 8） - \( \text{ord}(5) = 8 \) - \( \text{ord}(6) = 4 \) - \( \text{ord}(7) = 8 \) 这里，\( \text{ord}(x) \) 表示元素 \( x \) 的阶。 ### 生成元 生成元是循环群内的一个元素，其通过群运算可以生成群内的所有其他元素。在 \( Z_8 \) 中，生成元是阶为群的阶（这里是 8）的元素。因此，\( Z_8 \) 的生成元是： - \( 1 \)（因为 \( 1 \cdot 1 = 1 \), \( 2 \cdot 1 = 2 \), ..., \( 8 \cdot 1 = 0 \)） ### 子群 循环群 \( Z_8 \) 的所有子群也是循环的。子群包括： - \( \{0\} \)（平凡子群） - \( \langle 1 \rangle = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} \)（整个群本身） - \( \langle 2 \rangle = \{0, 2, 4, 6\} \)（阶为 4 的循环子群） - \( \langle 4 \rangle = \{0, 4\} \)（阶为 2 的循环子群） 这些子群包括了 \( Z_8 \) 的所有子群，因为任何子群都是由某个元素生成的，而这些元素的阶是 8 的因数（1, 2, 4, 8）。