已知四个整数a,b,c,d满足0＜a＜b＜c＜d。若a,b,c成等差数列,b,c,d成等比数列,且d-a=48,则a+b+c+d的值为多少

设等差数列的公差为x，等比数列的公比为q。已知条件是： \[ a, b, c \text{ 成等差数列：} b = a + x, c = b + x = a + 2x \] \[ b, c, d \text{ 成等比数列：} c = bq, d = cq = bqq \] \[ d - a = 48 \] 将等差数列和等比数列的关系联立起来，我们可以得到一个方程组： \[ \begin{cases} b = a + x \\ c = a + 2x \\ bqq = 48 + a \end{cases} \] 因为c也是等比数列中的项，我们可以将c表达为b的倍数： \[ c = bq \] 代入等差数列的第二个等式中，我们得到： \[ a + 2x = (a + x)q \] \[ q = \frac{a + 2x}{a + x} = 1 + \frac{x}{a + x} \] 现在我们用d来表示q： \[ 48 + a = (a + x)qq \] \[ (a + x)q^2 = 48 + a \] 因为q是一个数，我们可以将其乘以它自己得到d： \[ (a + x)q^2 = a + xq = 48 + a \] 由于q是一个整数（因为b, c, d是整数，并且它们是等比数列），我们可以尝试一些合理的q值。由于0 < a < b < c < d，我们可以合理地假设q > 1。由于d - a = 48，我们可以猜测q可能接近√48，这大约是7，因此我们可以选择q = 3。 将q = 3代入上面的方程组，我们可以解出a和x： \[ (a + x) * 9 = 48 + a \] \[ 9a + 9x = 48 + a \] \[ 8a + 9x = 48 \] \[ a + \frac{9}{8}x = 6 \] 由于a和x都是整数，如果x能整除8，那么a就是6。我们可以尝试x = 8，这时a = 6，这满足公差和公比的条件。 现在我们可以计算b、c和d： \[ b = a + x = 6 + 8 = 14 \] \[ c = a + 2x = 6 + 16 = 22 \] \[ d = cq = 3 * 22 = 66 \] 最后，我们可以计算a + b + c + d的值： \[ a + b + c + d = 6 + 14 + 22 + 66 = 108 \] 所以，a + b + c + d的值是108。