一个循环群一定是交换群.

正确。循环群指可以由其中的一个元素生成的群，例如群 \(G\) 中存在一个元素 \(g \in G\)，使得 \(G\) 中的每个元素都可以表示为 \(g\) 的整数次幂。 在循环群中，如果任意两个元素 \(a\) 和 \(b\) 都能写成生成元 \(g\) 的幂的形式：\(a = g^m\) 和 \(b = g^n\)（其中 \(m\)、\(n\) 是整数），那么它们的乘积也可以表示为： \[ ab = g^m \cdot g^n = g^{m+n} \] 以及它们的逆序乘积： \[ ba = g^n \cdot g^m = g^{n+m} \] 因为指数加法满足交换律，即 \( m + n = n + m \)，所以 \( g^{m+n} = g^{n+m} \)，这就意味着 \( ab = ba \)。 这意味着循环群中的任意两个元素的乘积都是可交换的，因此一个循环群一定是一个交换群（或称阿贝尔群）。