题目:一个圆的中心位于环形四边形$ABCD$的边$AB$上。其他三边都与这个圆相切。能否证明$AD + BC = AB$。

可以证明这一点。 设圆心为 \(O\)，圆与边 \(BC\)、\(CD\) 和 \(DA\) 相切的点分别为 \(E\)、\(F\) 和 \(G\)。由于 \(ABCD\) 是环形四边形，我们可以利用切线的性质来证明 \(AD + BC = AB\)。 1. 首先，由于圆在点 \(E\)、\(F\) 和 \(G\) 处与 \(BC\)、\(CD\) 和 \(DA\) 相切，根据切线性质，我们有 \(BE = BF\)，\(CF = CE\)，和 \(AG = AD\)。 2. 考虑三角形 \(BOE\) 和 \(COF\)，由于 \(O\) 是圆心，\(OE\) 和 \(OF\) 都是半径，因此 \(OE = OF\)。同理，在 \(DOA\) 和 \(COF\) 中，\(OG = OD\)。 3. 由于 \(BE = BF\)（切线段相等）和 \(AG = AD\)（切线段相等），我们可以得出 \(AB = BE + AG\) 和 \(BC + CD = CF + CE\)。 4. 根据切线的性质，对于圆外一点，连接该点与圆心的所有直线中，垂直于过该点的切线的那一条是最短的，并且所有切线都相等。因此，\(BE = BF = CD\) 和 \(AG = AD = CF\)。 5. 将这些等式代入到 \(AB + CD + DA\) 的表达式中，我们得到 \(AB + BE + AG = AB + CD + DA\)。 6. 由于 \(BE = BF = CD\) 和 \(AG = AD = CF\)，那么 \(AB = BE + AG\) 并考虑到 \(BE + AG\) 实际上就是 \(BC + CD\) 的长度（因为它们是由同一组切线段构成的），我们可以得出结论 \(AD + BC = AB\)。 这个证明依赖于切线的性质和圆心到切点的对称性。所以，给定的条件是成立的，即 \(AD + BC = AB\)。