4、一张面值为1000 元，票面利率为 5.5%的3年期债券，每年年末付息一次，到期收益率为8.5%，请计算该债券的持续期。

债券的持续期（Duration）是一个衡量债券价格对利率变动敏感度的指标。对于一个每年付息一次的债券，其持续期可以通过以下公式来计算： \[ D = \frac{\sum_{t=1}^{n} \left( \frac{C}{(1+y)^t} \times t \right) + \frac{M(1+y)^n}{(1+y)^n} \times n}{P} \] 其中： - \( C \) 是债券每年的利息收益； - \( M \) 是债券的面值； - \( y \) 是债券的到期收益率； - \( t \) 是各期的时间； - \( n \) 是债券的剩余期限； - \( P \) 是债券的当前市价。 根据题目所给信息，我们有： - 面值 \( M = 1000 \) 元； - 票面利率 \( \text{Coupon Rate} = 5.5\% \)，因此每年的利息收益 \( C = M \times \text{Coupon Rate} = 1000 \times 0.055 = 55 \) 元； - 到期收益率 \( y = 8.5\% \)，即 \( y = 0.085 \)； - 剩余期限 \( n = 3 \) 年。 债券的现价 \( P \) 可以通过贴现现金流的方式计算得出： \[ P = \frac{55}{(1+0.085)^1} + \frac{55}{(1+0.085)^2} + \frac{55}{(1+0.085)^3} + \frac{1000}{(1+0.085)^3} \] 计算每一期的贴现值： \[ \frac{55}{1.085} \approx 50.777 \] \[ \frac{55}{(1.085)^2} \approx 45.967 \] \[ \frac{55}{(1.085)^3} \approx 41.499 \] \[ \frac{1000}{(1.085)^3} \approx 782.278 \] 将这些值相加得到债券的现价 \( P \)： \[ P \approx 50.777 + 45.967 + 41.499 + 782.278 = 920.521 \] 现在我们计算持续期 \( D \)： \[ D = \frac{50.777 \times 1 + 45.967 \times 2 + 41.499 \times 3 + 782.278 \times 3}{920.521} \] \[ D \approx \frac{50.777 + 91.934 + 124.497 + 2346.834}{920.521} \] \[ D \approx \frac{2614.032}{920.521} \] \[ D \approx 2.839 \] 所以该债券的持续期大约是2.839年。