甲银行的年利率按照等差数列的形式逐年提升,假设第一年的年利率是5%,第五年的年利率是17%,那么请问根据这样的递增模式,第n年的年利率和前n年年利率的总和是多少?
首先,我们需要确定年利率的等差数列的公差。
已知第一年(第1年)的年利率是5%,第五年(第5年)的年利率是17%。等差数列的公差 \(d\) 可以通过公式计算得出:
\[ d = \frac{a_n - a_1}{n - 1} \]
其中 \(a_n\) 是第五年的年利率,\(a_1\) 是第一年的年利率,\(n\) 是第五年,所以 \(n-1=4\)。
代入数值:
\[ d = \frac{17\% - 5\%}{5 - 1} = \frac{12\%}{4} = 3\% \]
所以,每年比上一年多3%的利率。
接下来,我们可以找出第n年的年利率 \(a_n\) 的表达式:
\[ a_n = a_1 + (n - 1) \times d \]
\[ a_n = 5\% + (n - 1) \times 3\% \]
前n年年利率总和 \(S_n\) 的表达式为:
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