如何证明二项式系数为组合数

要证明二项式系数为组合数，可以运用组合数的定义和二项式定理。 首先，我们回顾一下组合数的定义。组合数C(n, r)表示从n个不同的元素中选取r个元素的方式数目，计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n!表示n的阶乘。 接下来，我们使用二项式定理来证明二项式系数的关系。 根据二项式定理，对于任意实数a和b以及非负整数n，有： (a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ... + C(n, n-1)a^1 b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n 我们可以观察到，展开后每一项的系数都是组合数C(n, i)，即从n个元素中选取i个元素的方式数目。 现在，我们来证明展开后每一项系数都是组合数。 对于任意的i，展开式中的第i项为C(n, i)a^(n-i)b^i。 我们可以将组合数C(n, i)写成分子和分母的形式： C(n, i) = n! / (i! * (n-i)!) 分子中的n!可以表示为n * (n-1) * ... * (n-i+1) * (n-i) * ... * 2 * 1 分母中的i!和(n-i)!可以展开为i * (i-1) * ... * 2 * 1 和 (n-i) * (n-i-1) * ... * 2 * 1 我们观察到，分子中的(n-i) * (n-i-1) * ... * 2 * 1和分母中的(n-i) * (n-i-1) * ... * 2 * 1是相同的。 因此，分子中的剩余部分(n * (n-1) * ... * (n-i+1))和分母中的剩余部分(i * (i-1) * ... * 2 * 1)可以完全约掉。 最终，我们得到C(n, i) = C(n, i)a^(n-i)b^i。 这就证明了展开后每一项系数都是组合数C(n, i)。因此，二项式系数为组合数。 综上所述，我们通过运用组合数的定义和二项式定理，证明了二项式系数为组合数。