(二)求矩阵A= ( \matrix {4&2&2 2&4&-2 2&-2&4} )的特征值和特征向量.
要求矩阵A的特征值和特征向量，我们需要解方程|A-λI|=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
首先，计算A-λI得到：
A-λI = \matrix {4-λ&2&2 2&4-λ&-2 2&-2&4-λ}
然后，计算行列式|A-λI|并令其等于0，得到特征方程：
(4-λ)(4-λ)(4-λ) + 2(2)(4-λ) + 2(-2)(2) - 2(4-λ)(-2) - 2(2)(2) - (4-λ)(-2)(-2) = 0
化简上述特征方程，得到：
(λ-6)(λ-4)(λ-2) = 0
解特征方程，得到特征值λ1=6，λ2=4，λ3=2。
接下来，我们代入每个特征值，求解对应的特征向量。
当λ=6时，解方程(A-6I)x=0，即：
\matrix {-2&2&2 2&-2&-2 2&-2&-2}x=0
通过高斯消元法，得到：
x = \matrix {1&-1&-1/2}
当λ=4时，解方程(A-4I)x=0，即：
\matrix {0&2&2 2&0&-2 2&-2&0}x=0
通过高斯消元法，得到：
x = \matrix {1&1&1}
当λ=2时，解方程(A-2I)x=0，即：
\matrix {2&2&2 2&2&-2 2&-2&2}x=0
通过高斯消元法，得到：
x = \matrix {-1&1&0}
综上所述，矩阵A的特征值为λ1=6，λ2=4，λ3=2，对应的特征向量分别为：
x1 = \matrix {1&-1&-1/2}
x2 = \matrix {1&1&1}
x3 = \matrix {-1&1&0}
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